StanによるMCMCサンプリング/素振り/ベータ分布

MCMC サンプリングの練習をしよう。
Stan を使う。実行環境は Google Colab 、よってローカル環境でのセットアップは一切不要。

colab.research.google.com

ここにノートブックがある。

モデル定義

シンプルにただのベータ分布からサンプリングするだけをやってみよう。

data {
    real<lower=0> alpha;
    real<lower=0> beta;
}
parameters {
    real<lower=0, upper=1> theta;
}
model {
    theta ~ beta(alpha, beta);
}

やってることは $\theta \sim beta(\alpha, \beta)$ だけ。この $\theta$ をサンプリングして評価すればいい。

サンプリング実行

モデルをコンパイルしてサンプリングを実行しよう。

beta_model = CmdStanModel(stan_file=str(model_path))

fit = beta_model.sample(
    data={"alpha": 2.0, "beta": 5.0},
    chains=8, parallel_chains=8,
    iter_warmup=1000, iter_sampling=10000,
    seed=20250815
)

$\alpha = 2, \beta = 5$ として $beta(\alpha = 2, \beta = 5)$ からサンプリングする。
8並列で10,000個ずつサンプルを取る。最初の1,000個はバーンインとして捨てる。最終的に80,000個のサンプルが得られる。

サンプリング結果

得られたサンプルでヒストグラムを描いてみよう。

いい感じにフィットして見える。

サンプルから統計量を推測する

得られたサンプルから標本平均, 標本標準偏差を計算すると、真の平均や真の標準偏差を推測できる。

summ = fit.summary()
print(summ.loc[["theta"], ["Mean", "StdDev", "R_hat", "ESS_bulk", "ESS_tail"]])

結果は、

	Mean (平均)	StdDev (標準偏差)	R_hat	ESS_bulk	ESS_tail
theta	0.284623	0.159601	1.00022	26463.6	25729.0

となった。

ベータ分布の平均と標準偏差の理論値は、

$\mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$
$\sigma = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^{2}(\alpha + \beta + 1)}$

なのでここに $\alpha = 2, \beta = 5$ を代入して比較すると、

	平均	標準偏差
理論値	0.285714	0.159718
標本からの推定	0.284623	0.159601

まぁまぁ良さそう。

まとめ

Google Colab は便利。Stan の文法に慣れていきたい。

私からは以上です。

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