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型無しラムダ計算学習用ステップ評価器 skiMogul を作っている話

λ計算 Rust Web サービス プログラミング

みなさま ラムダ計算 をご存知でしょうか。
ラムダ計算はある種の関数型プログラミング言語の体系で、変数と関数, そして関数適用というミニマルな構成要素だけでチューリング完全な表現力を持っています。

この記事では、ラムダ計算の中でも特に単純な 型無しラムダ計算 に着想を得てラムダ計算のステップ評価器を作っている話について書きます。

 

既存のモデルへの不満

型無しラムダ計算の処理系は昔からいくつも実装されていて、有名なところで Unlambda や Lazy_K などがあります。
どちらも SKI コンビネーター理論 に基づいていて、 s, k, i という たった3つの組み込み関数でプログラムを記述することが可能 1 です。

かく言う私も Unlambda から型無しラムダ計算に入門したクチです。しかし、従来の処理系には長らく不満がありました。それは関数の計算過程が印字不可で、計算の過程が非常に見えづらいことです。
早い話 Unlambda や Lazy_K は print デバッグできないのがツラい という事なのですが。私の見立てではこの print デバッグで試行錯誤できない感が ラムダ計算の世界から入門者を遠ざけている要因になっている ように思います。

 

ラムダ計算の計算過程を可視化する

そこで、『無いものは作ればいい精神』です。型無しラムダ計算学習用ステップ評価器 skiMogul を作りました。
実際の動作を見てもらう方がイメージしやすいと思うので GIF を、

型無しラムダ計算学習用ステップ評価器 skiMogul

mogul-lang.mudatobunka.org

ラムダ式をステップ評価する様が見て取れると思います。
今のところ

  • 論理演算 (NOT, AND, OR, XOR)
  • 整数(チャーチ数)の操作 (後者関数 SUCC, 前者関数 PRED)
  • 整数(チャーチ数)の演算 (和 ADD, 差 SUB, 積 MUL, 商と剰余 DIV)
  • 整数(チャーチ数)の同士の比較 (ゼロ比較 IS_ZERO, 等値比較 EQ, 不等比較 GT, LT)
  • 連結リスト操作 (CONS, CAR, CDR)
  • 無名再帰 (Y コンビネータ)
  • 自作関数の定義

などが出来ます。

 

シンタックス

skiMogul の記法について簡単に解説してみます。

関数適用 (関数実行)

まず、 i という組み込みの関数があります。 Identity の略で、引数をそのまま返す関数です。

> i
i

このように、i 単体を評価しても何も起きません。

では、関数 i に引数 x を与えて実行してみましょう。JavaScript 風にパーレン () で関数呼び出しを書きます。

> i(x)
i(x)
⇒ x

skiMogulで実行する

はい、実行結果は x です。
このように関数に引数を与えて実行することを 関数適用 と云います。この場合 i に x を適用しました。

 

他にも組み込み関数を使ってみましょう。定数関数 k は2つの引数を取り、2つめの引数を捨てて1つめの引数をそのまま返します。
k は Constant (Konstant) の略ですね、たぶん。

k(x, y)
⇒ x

skiMogulで実行する

「2つの引数を取る」と書きましたが、これは正確な表現ではありません。厳密には Mogul の世界には多変数関数が存在せず、1引数関数しか扱えないからです。
k(x, y) は k(x)(y) と同じ意味に解釈されます。これは k に x を適用した結果に y を適用していると読めます。このように1変数関数を用いて多変数の関数適用を表現する方法を「関数のカリー化」と言います 🍛

 

もう一つ欠かせない関数 s を使ってみましょう。
s は Substitution の略で、3引数 x, y, z を与えると x(z, y(z)) を返します。

> s(x, y, z)
s(x, y, z)
⇒ x(z, y(z))

skiMogulで実行する

関数合成 や 引数の入れ替え を実現するために重要な関数です。

関数抽象と関数定義

ラムダ計算に欠かせないのが 関数抽象 です。
モダンなプログラミング言語に親しんだ方であれば 無名関数 または クロージャー (closure) の事だと云えば伝わりやすいでしょうか。

例として、引数 x に対して x(x) を返す関数抽象を以下のように書きます。

x => x(x)

関数抽象に引数を与えて評価することができます。 a を適用してみましょう。

> (x => x(x))(a)
(x => x(x))(a)
⇒ a(a)

skiMogulで実行する

いいですね。

関数定義

関数抽象は 別の変数に代入する こともできます。

> FOO = x => x(x)
> FOO(a)
FOO(a)
⇒ (x => x(x))(a)
⇒ a(a)

skiMogulで実行する

このようにして自作関数 FOO を定義することができました。これが 関数定義 です。

多変数関数

多変数関数は関数抽象をネストさせることで実現します。

> x => y => y(x)
x => y => y(x)

> (x => y => y(x))(a)(b)
(x => y => y(x))(a)(b)
⇒ (y => y(a))(b)
⇒ b(a)

skiMogulで実行する

上手く動いていますね。
このように1引数の関数抽象をネストさせて多変数関数を表現する方法を カリー化 と云います。

ちなみに、skiMogul では多変数風の関数抽象の糖衣構文を用意しているので下記のように書くこともできます。

> (x, y) => y(x)
(x, y) => y(x)

> ((x, y) => y(x))(a, b)
((x, y) => y(x))(a, b)
⇒ (y => y(a))(b)
⇒ b(a)

関数の定義を参照する

ここまでに見てきたように、 Mogul では関数適用を変数に代入することで自作の関数を定義することが出来ます。
逆に定義済みの関数の定義を参照するには ? コマンド を使います。

> ? s
s(x, y, z) = x(z, y(z))

skiMogulで実行する

Mogul には他にも多くの組み込み関数が定義されています。 Context パネルで定義済みの関数を一覧できます。
また ? コマンドを単体で実行することでも同じように見ることができます。

> ?
i(x) = x
k(x, y) = x
s(x, y, z) = x(z, y(z))
Y(f) = (x => f(x(x)))(x => f(x(x)))
...
XOR(x, y) = x(NOT(y), y)
ι(f) = f((x, y, z) => x(z, y(z)), (x, y) => x)

skiMogulで実行する

skiMogul で計算っぽいことをやってみる

遊んでみましょう。

論理演算

論理演算のために必要な一通りの関数が用意されています。
TRUE, FALSE, NOT, AND, OR, XOR などです。

> AND(TRUE, FALSE)
AND(TRUE, FALSE)
⇒ TRUE(FALSE, FALSE)
⇒ ((x, y) => x)(FALSE)(FALSE)
⇒ (y => FALSE)(FALSE)
⇒ FALSE

> AND(TRUE, NOT(FALSE))
AND(TRUE, NOT(FALSE))
⇒ TRUE(NOT(FALSE), FALSE)
⇒ ((x, y) => x)(NOT(FALSE))(FALSE)
⇒ (y => NOT(FALSE))(FALSE)
⇒ NOT(FALSE)
⇒ FALSE(FALSE, TRUE)
⇒ ((x, y) => y)(FALSE)(TRUE)
⇒ (y => y)(TRUE)
⇒ TRUE

> AND(OR(FALSE, TRUE), NOT(FALSE))
AND(OR(FALSE, TRUE), NOT(FALSE))
⇒ OR(FALSE, TRUE)(NOT(FALSE), FALSE)
⇒ FALSE(TRUE, TRUE)(NOT(FALSE), FALSE)
⇒ ((x, y) => y)(TRUE)(TRUE, NOT(FALSE), FALSE)
⇒ (y => y)(TRUE)(NOT(FALSE), FALSE)
⇒ TRUE(NOT(FALSE), FALSE)
⇒ ((x, y) => x)(NOT(FALSE))(FALSE)
⇒ (y => NOT(FALSE))(FALSE)
⇒ NOT(FALSE)
⇒ FALSE(FALSE, TRUE)
⇒ ((x, y) => y)(FALSE)(TRUE)
⇒ (y => y)(TRUE)
⇒ TRUE

skiMogulで実行する

IF を使うと if式 っぽいものを書くこともできます。

> IF(FALSE)(x, y)
IF(FALSE, x, y)
⇒ FALSE(x, y)
⇒ ((x, y) => y)(x)(y)
⇒ (y => y)(y)
⇒ y

整数演算

0 ～ 20 までの整数 2 は定義済みです。
和 ADD, 差 SUB, 積 MUL, 商と剰余 DIV を計算することもできます。

> ADD(2, 3)
ADD(2, 3)
⇒ (f, x) => 2(f, 3(f, x))

この評価結果はラムダ計算的に正しいのですが、最終結果を見ても釈然としないかも知れませんね。
等価比較 EQ を使って ADD(2, 3) が 5 に等しいことを確かめてみましょう。

> EQ(ADD(2, 3), 5)
EQ(ADD(2, 3), 5)
⇒ AND(GTE(ADD(2, 3), 5), LTE(ADD(2, 3), 5))
⇒ GTE(ADD(2, 3), 5)(LTE(ADD(2, 3), 5), FALSE)
⇒ IS_ZERO(SUB(5, ADD(2, 3)))(LTE(ADD(2, 3), 5), FALSE)
...
⇒ (u => TRUE)(_ => FALSE)
⇒ TRUE

skiMogulで実行する

結果は TRUE、つまり 2+3 は 5 に等しいということですね。

 

実装

skiMogul は Rust で実装されています。
Rust コードを wasm にコンパイルして GitHub Pages にデプロイしています。計算のためにサーバーと通信することはありません。すべての計算はフロントエンドで行われます。つまり全てがブラウザ上で実行されているということです。

全てのソースコード は GitHub に置いています。

 

今後の展望

最初にも書いたように、私が skiMogul を書き始めた動機は ラムダ計算の入門者のハードルを下げること です。だいたい6～10歳くらいの小学生がシンプルに自然にラムダ計算を学び始められる世界を夢見ています。
skiMogul の機能について要望・意見があれば教えてもらえると嬉しいです。

 

 

私からは以上です。

  1. Unlambda には3つの主要な関数以外に、評価順を制御する d 関数や印字用の関数群なども多数組み込まれていますが↩
  2. ただし、チャーチ数と云われる関数として表現された数です↩

Rust はコストのかかるコードを書くのが苦痛になるようにデザインされている(？)

Rust プログラミング

Rust は「コストのかかるコードは書くのが苦痛であるべき」という思想のもとデザインされている気がする。
というのも Rust を書いていると「意図的にショートカットが用意されていない」と思える場面があるからだ。

いくつか例を挙げてみようと思う。

 

文字列の連結

String 型の変数 s を所有しているときに、s の 後ろに 文字列リテラルを連結するのは簡単だ。+ 演算子で文字列の連結ができる。

let mut s = String::from("hello");
s = s + ", world";
println!("{}", s);  // => hello, world

一方で s の 前に 連結するには一手間必要になる。

let mut s = String::from("world");
s = "hello, ".to_string() + &s;
println!("{}", s);  // => hello, world

+ 演算子の左オペランドは String でなければいけないので "hello, " をそのまま置くことはできない。.to_string() メソッドで String 型に変換している。1
右オペランドは &str 型でなければいけないので &s として &str に変換している。

 

文字列の連結がなぜこんなにも左右非対称なのか、実装を追ってみよう。

+ 演算子の挙動は Add trait を実装することで定義される。

doc.rust-jp.rs

Rust では Add<&str> for String が定義済みなので + 演算子を使って String 型と &str 型が連結できる。
他方で Add<String> for &str は未定義なので、&str 型と String 型の連結はできない。2

これによって String 型の変数 s を後ろに伸ばしていくのは簡単で、前に伸ばしていくためには冗長な記述が必要という非対称性が生まれている。

 

このような状況はおそらく意図的で。&str + String がシンプルに書けないのは &str + String を実行するのにコストが大きいからだ。

Rust の String 型は内部的に Vec<u8> として実装されている。Vec<u8> は「8ビット非負整数の可変長配列」だ。

Vec<T> はデータを前から詰めて保持するために、後ろに伸ばすのは容易で前に伸ばすのにはコストがかかる。String 内部的には Vec なので同じ制約下にあるはずだ。

ちなみにここで言う「前に伸ばすのにはコストがかかる」というのは、連結後の文字列が収まるメモリを別の場所に確保してから連結後の文字列を配置し直す必要があるということだ。
String + &str はあらかじめ確保していたメモリに連結後の文字列が収まらなかったときだけ再配置すればいい一方で、&str + String は 毎回かならず メモリの再配置が必要になる。

そういう都合で String + &str は簡単に書けて、&str + String には意図的にショートカットが用意されていないんじゃないだろうか。

 

ユーザー定義型は (可能であっても) 自動的には Copy にならない

2つめの例は値の複製について。

Rust には言わずと知れた所有権システムがある。*1
Rust の基本戦略は値を所有している変数を一つだけに制限して、できるだけ借用 (参照) で間に合わせるというものだ。

そのため Rust の代入は基本的に所有権を移動 (ムーブ) させる。

let x = vec![1, 2, 3];
let y = x;  // ここでムーブが発生し x は所有権を失う
println!("{:?}", x);
//               ^ エラー: ムーブ済みの値を借用しようとしている

この制限を回避する方法はいくつかある。

  1. 変数を .clone() する
  2. 型を Copy にしておく
  3. Rc などの型で包む

いちばんよく使われるのは 1. だろう。
Rust の多くの型は .clone() メソッドを実装していて、値を複製して別の変数に渡すことができる。

let x = vec![1, 2, 3];
let y = x.clone();  // x を複製して値の所有権を y に渡す
println!("{:?}", x);  // => [1, 2, 3] 
//               ^ OK: x の所有権は失われていない

.clone() はお手軽だが、所有権がムーブする箇所で一々 .clone() をタイプするのは面倒でもある。もし型が Copy trait を実装していれば .clone() を省略できる。
Copy trait を実装した型は所有権がムーブするタイミングで自動的に値が複製される。元の変数が所有権を失うことはない。

let x = 42;  // 42: u8 は Copy trait を実装している
let y = x;   // .clone() を書かなくても自動的に複製される
println!("{:?}", x);  => 42
//               ^ OK: x の所有権は失われていない

char, bool, u8 などが Copy になっている。
さらに Copy な型を組み合わせたタプルもまた Copy になる。例えば (char, bool, u8) は Copy だ。

let x = ('🦀', true, 42);  // (char, bool, u8) は Copy になる
let y = x;                 // .clone() を書かなくても自動的に複製される
println!("{:?}", x); // => ('🦀', true, 42)
//               ^ OK: x の所有権は失われていない

 

Copy な型はいわば .clone() を免除されているわけだ。
これは「Copy な型が占有するメモリ」が「それの参照が占有するメモリ」に比べて充分に小さいからだ。

Rust において char は4バイト, bool は1バイト, u8 は1バイトだ。一方それらの参照である Box<char>, Box<bool>, Bool<u8> のサイズはどれも1バイトだ。
u8 な値を二つの変数に持たせるのに、値そのものを持たせるのも片方に参照を持たせるのもメモリサイズは変わらない。
参照を持たせることで節約にはならないし、暗黙に .clone() したとしても無駄遣いにはならない。

というわけで Copy な型は手動で .clone() する必要がなく、代入時に値が自動的に複製される。

 

さて「Copy のタプルも Copy になる」ということを踏まえてユーザー定義型について見てみよう。
Copy な型だけを含む struct や enum は Copy に なれる 。#[derive(Clone, Copy)] で修飾すればいい。

#[derive(Clone, Copy)]
struct Foo { val: u8 }

let foo = Foo { val: 42 };
let bar = foo;
println!("{}", foo.val); // => 42

なんとも簡単だが 自動的に Copy になる訳ではない。

ユーザー定義型が (可能であっても) 自動的に Copy にならない理由は「将来的に拡張されて Copy でない型を含むようになったときに困るから」と説明されている。
Copy でない型を含む型はどうがんばっても Copy になれない。将来的にも Copy な型しか持たせないことを心に決めたうえで、実装者が責任を持って #[derive(Clone, Copy)] をタイプする必要がある。

 

というわけで実はユーザー定義型を安易に Copy にするべきではないのだ。現実的なユースケースではムーブを回避したいときには一々 .clone() することになる。

そういう意味で Rust は 一々 .clone() をタイプさせるように デザインされていると言える。

.clone() をタイプするとき、プログラマはデータが複製されている様を意識せずにはいられない。意識することでストレスがかかる。複製元の値と同じだけメモリが消費されてる様がなんども頭によぎる。
そういう少しのストレスによって Rust はプログラマに極力 .clone() せずに済むコードを書くように仕向ける。

一々 .clone() をタイプするのは苦痛で。ストレスが無いのは一つの値を一つの変数だけが所有しているコードだ。
苦痛から逃れるコードを書こうとすると、自然に「値の複製」も「ガベージコレクション」も必要のないコードになっていく。

所有権システムの制約も Copy な型の制約も、理想的なコードを書かせるための意図したデザインと思えてくる。

 

Vec が map() メソッドを持たない

Rust の Vec は便利だ。色々なメソッドがあり、ほとんどが安全だ。
が、とある不思議なことに気づく。Vec には .map() メソッドが無い。

.map() メソッドは Iterator に定義されている。
Vec の中の値を変換しようとしたら、

  1. まず Vec を Iterator に変換し
  2. .map() して
  3. 結果の Iterator を再び Vec に変換する

という手順を踏む必要がある。

とはいえこれらの手順はどれも簡単だ。
Vec から Iterator を作るには .into_iter() メソッドを呼び出すだけでいい。
Iterator から Vec の変換は .collect() メソッドがやってくれる。

let vec = vec![1, 2, 3];

let iter = vec.into_iter();
let iter = iter.map(|n| n * n);
let vec: Vec<u8> = iter.collect();

println!("{:?}", vec);  // => [1, 4, 9]

簡単ではあるが、いかにも冗長だ。

いちいち変数に格納せずともメソッドチェーンで書くこともできる。そうするといくらかスッキリする。

let vec = vec![1, 2, 3];

let vec: Vec<u8> = vec.into_iter().map(|n| n * n).collect();

println!("{:?}", vec);  // => [1, 4, 9]

が、やはり冗長じゃないか？

Vec が .map() を持たない背景には遅延評価的な思想がある気がしている。
ここでいったん脇道に逸れて Iterator の .map() メソッドについて見てみよう。

 

Iterator の .map() は Iterator が持つ値を変換するメソッド ではない 。

.map() は std::iter::Map を返すように実装されている。std::iter::Map は別の Iterator と「値を変換する関数 f」を内包した構造体だ。
こんな感じの実装になっている。

pub struct Map<I, F> {
    pub(crate) iter: I,
    f: F,
}

impl<B, I: Iterator, F> Iterator for Map<I, F>
where
    F: FnMut(I::Item) -> B,
{
    type Item = B;
    fn next(&mut self) -> Option<B> {
        match self.iter.next() {
            Some(v) => Some(self.f(v)),
            None => None,
        }
    }
}

std::iter::Map は値を変換可能な状態を保持しているだけで、値が必要になるまで変換は行わないのだ。
「値が必要になったとき」とは iter.next() が呼ばれたときだ。

 

std::iter::Map の存在を知れば .map() の見方も変わってくる。Iterator の .map() は変換可能な状態を作っているだけ。

必要になるまで変換を行わないのは、全ての値に対して変換を行わなくてもいい場合があるからだ。
例えば .skip() でいくつかの要素を読み飛ばしたり .find() で特定の要素だけをピックアップしたときには、捨てられる要素に対しての変換は省略できる。

Rust はコレクションの中に使われない値があるかもと想定しているので「必要になったときに初めて値を用意する」という処理を抽象化して用意している。それこそが Iterator だ。

 

というわけで Vec を .map() するときに Iterator を経由するのは使われない値があるときに備えてのことだと言える。
Vec に .map() を直接実装してしまうと、そのような効率化のための意図は消し飛んでしまう。タイプ数が減る代わりに非効率さが覆い隠される。

プログラマが vec.into_iter().map().collect() をタイプするときに思うことは、どうにかして .collect() を省けないか？ということだ。
.collect() を呼んだ時点で内部的に .next() が呼ばれて、遅延されていた std::iter::Map の処理は即座に実行されていまう。もし必要ない要素があるなら、Vec に変換することなく処理を進めるのが効率がいい。

Vec を .map() するための冗長さは裏側で起こっていることをプログラマに思い出させるためにある。

 

Rust はコストのかかる箇所にマークをつける

Rust を学んでいて面白いと思ったのは、Rust のデータ型はコストのかかる処理を覆い隠したりしないことだ。
むしろコストのかかる箇所が見えるように個別の型やトレイトが用意されている。

この記事では、

  • 後ろ側に連結が容易な String 型
  • 自動的な複製を許す Copy トレイト
  • Lazy な Iterator トレイトと正格な Vec 型

を例に挙げた。

これらの型やトレイトはプログラマが見て裏側の処理の性質を知るのにも役立つし。もっと直接的に、とあるトレイトの有無を条件に制約を課すガードとしても使われている。*2

 

コストのかかる処理をマークするための型があることで、マークするためにわずかにタイプ数が増える。そうやってわずかにストレスを感じさせて、コストのかかる処理を避けるよう誘導しているんじゃないだろうか。

もちろんコストのかかる処理をカジュアルに書ける記法を用意することも技術的に可能だ。でも Rust はそのようにデザインされていないと感じる。むしろコストのかかる箇所が明確に見えるように、コストのかかる処理を書いていて苦痛に感じるようにデザインされている気がする。

 

まとめ

ここで紹介した冗長さはどれも意図的だと私は思っている。
Rust を書いていて苦痛なときは「もっと効率のいい書き方がある」というメッセージを受信しているときだ。

Rust は苦痛を型で表現しているのが面白い。
文字列連結の例では String と &str が、値の複製の例では Copy が、.map() の例では Iterator や std::iter::Map が。これらの型はコストを覆い隠すのではなく、そこにコストがあることを表明している。

この記事を読んで「いや Rust でもコストが覆い隠されているデザインはあるぞ」とか「他の言語ではこういう工夫がされているよ」とかの意見や知見があればぜひ教えてほしい。
私もこの意見に確信があるわけではなく、まだまだ考え始めたところだ。

 

 

私からは以上です。

 

おまけ

X でアンケートを取ってみたら見事に真っ二つに割れた図

  1. Rust では文字列リテラル "some string" は &str 型に解決される↩
  2. 連結不可能というわけではなく、左オペランドを String 型に右オペランドを &str 型に変換しておく必要があるということ↩

*1:そしてガベージコレクションが無い

*2:いわゆる「トレイト境界」

二重数を使って2階微分を計算する方法 と 超二重数への発展

科学 ポエム

二重数という数があります。「その数自体は0でないのに2乗すると0になる数」のことを二重数と呼びます。

x \ne 0\ \land\ x^2 = 0

実数の範囲で x^2 = 0 を満たす x は x = 0 のみなので、 x \ne 0 でかつ x^2 = 0 となるような数があるならばそれは 実数ではない ということになります。
そのような実数ではない数 \varepsilon の存在を認めて、実数と \varepsilon の線型結合 a + b \varepsilon の形で書いた数が二重数と定義されます。

二重数にはいろいろとおもしろい性質があるのですが、それについては色々な人が記事を書いているのでそちらを参照してみてください。私のおすすめはこれ↓↓↓です。

www.ajimatics.com

kamino.hatenablog.com

この記事では二重数の応用の一つである関数の自動微分について取り上げます。

 

関数に二重数を与えると微分係数が求まる

突然ですが関数 f(x) = x^4 + x^2 の微分について考えてみましょう。ひとまず x = 1 における微分係数を求めるところから始めます。

高校数学の知識で関数 f(x) = x^4 + x^2 の x = 1 における微分係数は、 f(x) を微分して導関数 f'(x) を求めてから x = 1 を代入すればいいとわかります。

\begin{align} f(x)&=x^4 + x^2 \\\ f'(x)&=4x^3 + 2x \\\ f'(1)&=4+2 \\\ &=6 \end{align}

というわけで求める微分係数は 6 なんですが。二重数を使えば導関数を求めずにこれを計算できるという面白い性質があります。

具体的には f(x) に x = 1 + \varepsilon を代入して、

\begin{align} f(1 + \varepsilon) &= (1 + \varepsilon)^4 + (1 + \varepsilon)^2 \\\ &= (1 + 4\varepsilon + 6\varepsilon ^2 + 4\varepsilon ^3 + \varepsilon ^4) + (1 + 2\varepsilon + \varepsilon ^2) \end{align}

ここで \varepsilon は2乗すると 0 になるような数だったことを思い出すと上記の式を大幅に整理できます。なんせ2以上の累乗の項は消えてしまうからです。

\begin{align} f(1 + \varepsilon) &= (1 + \varepsilon)^4 + (1 + \varepsilon)^2 \\\ &= (1 + 4\varepsilon + 6\varepsilon ^2 + 4\varepsilon ^3 + \varepsilon ^4) + (1 + 2\varepsilon + \varepsilon ^2) \\\ &= (1 + 4\varepsilon) + (1 + 2\varepsilon) \\\ &= 2 + 6\varepsilon \end{align}

さてこれにて x = 1 における微分係数がもとまりました。上記の式で 6\varepsilon の項に注目してください。 \varepsilon の係数になっている 6 が x = 1 における f(x) の微分係数です。

...何もかも唐突ですね。
これは

\begin{align} f(x_0 + \varepsilon) = f(x_0) + f'(x_0)\varepsilon \end{align}

という二重数の性質を応用して f(x) の微分係数を求めたのです。上記の式では f(x) に x = x_0 + \varepsilon を代入して整理した後、 \varepsilon のついた項の係数が f'(x_0) に等しいと云っています。

 

なんとも不思議ですが、ともかく f(x) に x = x_0 + \varepsilon を代入して式を整理するだけで微分係数 f'(x_0) が機械的に計算できてしまうのです。

 

微分係数と云わず導関数を求めた方が納得感があるかもしれない

さきほどの例で、二重数を使って関数 f(x) = x^4 + x^2 の x = 1 における微分係数を求めてみました。たったの1例ということもあって、初見ではなかなか納得しづらいんじゃないかと思います。同じ方法で導関数を導出してみると納得感があるんじゃないでしょうか。

さきほどは f(x) に x = 1 + \varepsilon を代入しましたが、今度は x = t + \varepsilon を代入してみます。

\begin{align} f(t + \varepsilon) &= (t + \varepsilon)^4 + (t + \varepsilon)^2 \\\ &= (t^4 + 4t^3\varepsilon + 6t^2\varepsilon ^2 + 4t\varepsilon ^3 + \varepsilon ^4) + (t^2 + 2t\varepsilon + \varepsilon ^2) \\\ &= (t^4 + 4t^3\varepsilon) + (t^2 + 2t\varepsilon) \\\ &= (t^4 + t^2) + (4t^3 + 2t)\varepsilon \end{align}

ここで右辺に着目し \varepsilon を含んでいない項を g_0(t)、 \varepsilon を含む項の係数部分を g_1(t) として抽出してみましょう。

\begin{align} f(t + \varepsilon) &= g_0(t) + g_1(t) \varepsilon \\\ \\\ g_0(t) &= t^4 + t^2 \\\ g_1(t) &= 4t^3 + 2t \end{align}

ここで g_0(x), g_1(x) を t についての関数とみなしましょう。変数を置き換えても関数自体は変わらないので変数 t を変数 x に置き換えてみます。

\begin{align} g_0(x) &= x^4 + x^2 \\\ g_1(x) &= 4x^3 + 2x \end{align}

はい、鋭いかたはお気付きでしょう。上記の g_0(x), g_1(x) はそれぞれ f(x), f'(x) に等しくなっていますね。

\begin{align} g_0(x) &= x^4 + x^2 = f(x)\\\ g_1(x) &= 4x^3 + 2x = f'(x) \end{align}

このことから、

\begin{align} f(x + \varepsilon) = f(x) + f'(x)\varepsilon \end{align}

という性質に納得感が出てきたんではないでしょうか。

 

2階微分を求めたい

さて二重数をつかって微分係数や導関数が求まることがわかりました。
が、先ほどまで見た例は 1階の 微分係数や 1階の 導関数でしたね。もし2階微分を求めたくなったら、二重数をつかって計算をすることは可能でしょうか？

答えは 条件付きの Yes です。

二重数というアイデアはそのままつかえますが 2階の二重数 を持ち出す必要があります。

2階の二重数とは先ほどまでの \varepsilon とは別の基底 \varepsilon\,_1, \varepsilon\,_2 を用いて、

\begin{align} a + b\varepsilon\,_1 + c\varepsilon\,_2 \end{align}

の形で書ける数です。

具体的な計算を見せる前に二重数の基底になる 1, \varepsilon\,_1, \varepsilon\,_2 の積について見ていきます。

1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2
1 1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2
\varepsilon\,_1 \varepsilon\,_1 2\varepsilon\,_2 0
\varepsilon\,_2 \varepsilon\,_2 0 0

縦軸と横軸の重なる部分が積算の結果になっています。例えば \varepsilon\,_1 \cdot \varepsilon\,_1 = 2\varepsilon\,_2, \varepsilon\,_1 \cdot \varepsilon\,_2 = 0 です。

 

2階の二重数を導入したので、先ほどと同じ要領で関数 f(x) = x^4 + x^2 の2階微分を求めていきましょう。
さきほどは x = t + \varepsilon を代入して整理してから t = x と変数変換しましたが、まぁ正直煩わしいので最初から f(x + \varepsilon) を展開整理して計算を進めていきます。ちなみに、ここで云う \varepsilon は \varepsilon\,_1 のことです。

\begin{align} f(x + \varepsilon\,_1) &= (x + \varepsilon\,_1)^4 + (x + \varepsilon\,_1)^2 \\\ &= (x^4 + 4x^3\varepsilon\,_1 + 6x^2\varepsilon\,_1 ^2 + 4x\varepsilon\,_1 ^3 + \varepsilon\,_1 ^4) + (x^2 + 2x\varepsilon\,_1 + \varepsilon\,_1 ^2) \end{align}

先ほど示した演算表を見ながら 2乗, 3乗, 4乗の項を整理していきましょう。

\begin{align} f(x + \varepsilon\,_1) &= (x + \varepsilon\,_1)^4 + (x + \varepsilon\,_1)^2 \\\ &= (x^4 + 4x^3\varepsilon\,_1 + 6x^2\varepsilon\,_1 ^2 + 4x\varepsilon\,_1 ^3 + \varepsilon\,_1 ^4) + (x^2 + 2x\varepsilon\,_1 + \varepsilon\,_1 ^2) \\\ &= (x^4 + 4x^3\varepsilon\,_1 + 6x^2 \cdot 2\varepsilon\,_2) + (x^2 + 2x\varepsilon\,_1 + 2\varepsilon\,_2) \\\ &= (x^4 + x^2) + (4x^3 + 2x)\varepsilon\,_1 + (12x^2 + 2)\varepsilon\,_2 \end{align}

最終行に注目してください。それぞれの項の係数が、

\begin{align} f(x) &= x^4 + x^2 \\\ f'(x) &= 4x^3 + 2x \\\ f''(x) &= 12x^2 + 2 \end{align}

となっていますね。

というわけで2階の二重数を使って2階微分を求められました。

 

では3階微分は？

さてここで歩みを止めずに3階微分へと進みましょう。2階の二重数を使って3階微分は求まるでしょうか？
先ほどの同じアイデアで可能ですが、(お察しの通り) 3階の二重数を持ち出す必要があります。

2階の二重数とは基底 \varepsilon\,_1, \varepsilon\,_2, \varepsilon\,_3 を用いて、

\begin{align} a + b\varepsilon\,_1 + c\varepsilon\,_2 + d\varepsilon\,_3 \end{align}

の形で書ける数です。

再び積の演算表をお見せします。

1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2 \varepsilon\,_3
1 1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2 \varepsilon\,_3
\varepsilon\,_1 \varepsilon\,_1 2\varepsilon\,_2 3\varepsilon\,_3 0
\varepsilon\,_2 \varepsilon\,_2 3\varepsilon\,_3 0 0
\varepsilon\,_3 \varepsilon\,_3 0 0 0

さて、3階の二重数の導入が済んだら先ほどと同じように f(x + \varepsilon\,_1) を展開整理します。

\begin{align} f(x + \varepsilon\,_1) &= (x + \varepsilon\,_1)^4 + (x + \varepsilon\,_1)^2 \\\ &= (x^4 + 4x^3\varepsilon\,_1 + 6x^2\varepsilon\,_1 ^2 + 4x\varepsilon\,_1 ^3 + \varepsilon\,_1 ^4) + (x^2 + 2x\varepsilon\,_1 + \varepsilon\,_1 ^2) \\\ &= (x^4 + 4x^3\varepsilon\,_1 + 6x^2 \cdot 2\varepsilon\,_2 4x \cdot 6\varepsilon\,_3) + (x^2 + 2x\varepsilon\,_1 + 2\varepsilon\,_2) \\\ &= (x^4 + x^2) + (4x^3 + 2x)\varepsilon\,_1 + (12x^2 + 2)\varepsilon\,_2 + 24x\varepsilon\,_3 \end{align}

そして各基底の係数を並べて眺めます。

\begin{align} f(x) &= x^4 + x^2 \\\ f'(x) &= 4x^3 + 2x \\\ f''(x) &= 12x^2 + 2 \\\ f'''(x) &= 24x \end{align}

簡単ですね？

 

n階の二重数

ここまでの話を見ていて「さっさとn階の二重数を導入したほうが早いな」と思った読者も多いでしょう。
実際、4階の二重数, 5階の二重数, ... と拡張していくことは簡単です。積の演算表だけさっと示しましょう。

4階の二重数の積の演算表

1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2 \varepsilon\,_3 \varepsilon\,_4
1 1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2 \varepsilon\,_3 \varepsilon\,_4
\varepsilon\,_1 \varepsilon\,_1 2\varepsilon\,_2 3\varepsilon\,_3 4\varepsilon\,_4 0
\varepsilon\,_2 \varepsilon\,_2 3\varepsilon\,_3 6\varepsilon\,_4 0 0
\varepsilon\,_3 \varepsilon\,_3 4\varepsilon\,_4 0 0 0
\varepsilon\,_4 \varepsilon\,_4 0 0 0 0

 

5階の二重数の積の演算表

1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2 \varepsilon\,_3 \varepsilon\,_4 \varepsilon\,_5
1 1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2 \varepsilon\,_3 \varepsilon\,_4 \varepsilon\,_5
\varepsilon\,_1 \varepsilon\,_1 2\varepsilon\,_2 3\varepsilon\,_3 4\varepsilon\,_4 5\varepsilon\,_5 0
\varepsilon\,_2 \varepsilon\,_2 3\varepsilon\,_3 6\varepsilon\,_4 10\varepsilon\,_5 0 0
\varepsilon\,_3 \varepsilon\,_3 4\varepsilon\,_4 10\varepsilon\,_5 0 0 0
\varepsilon\,_4 \varepsilon\,_4 5\varepsilon\,_5 0 0 0 0
\varepsilon\,_5 \varepsilon\,_5 0 0 0 0 0

 

そして4階の二重数を使えば4階までの微分が求まる、5階の二重数を使えば5階までの微分が求まるというところも予想を裏切りません。
なんだか逆に退屈ですね。というわけで 超二重数 に話を進めましょう。

 

超二重数

超二重数は無限個の基底 1, \varepsilon\,_1, \varepsilon\,_2, \varepsilon\,_3, ... の線形結合よって表現される無限次元線型空間です。

積の演算表を示します。

1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2 \varepsilon\,_3 \varepsilon\,_4 \varepsilon\,_5
1 1 \varepsilon\,_1 \varepsilon\,_2 \varepsilon\,_3 \varepsilon\,_4 \varepsilon\,_5
\varepsilon\,_1 \varepsilon\,_1 2\varepsilon\,_2 3\varepsilon\,_3 4\varepsilon\,_4 5\varepsilon\,_5 6\varepsilon\,_6
\varepsilon\,_2 \varepsilon\,_2 3\varepsilon\,_3 6\varepsilon\,_4 10\varepsilon\,_5 15\varepsilon\,_6 21\varepsilon\,_7
\varepsilon\,_3 \varepsilon\,_3 4\varepsilon\,_4 10\varepsilon\,_5 20\varepsilon\,_6 35\varepsilon\,_7 56\varepsilon\,_8
\varepsilon\,_4 \varepsilon\,_4 5\varepsilon\,_5 15\varepsilon\,_6 35\varepsilon\,_7 70\varepsilon\,_8 126\varepsilon\,_9
\varepsilon\,_5 \varepsilon\,_5 6\varepsilon\,_6 21\varepsilon\,_7 56\varepsilon\,_8 126\varepsilon\,_9 252\varepsilon\,_10

無限個の基底があるので全てを示すことはできませんが、簡単な規則性があります。
二項係数 \binom{n}{k} = {}_n C_{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} を使って \varepsilon\,_m, \varepsilon\,_n の積を

\begin{align} \varepsilon\,_m \cdot \varepsilon\,_n = \binom{m + n - 1}{m - 1} \varepsilon\,_{m+n} \end{align}

と表せます。

特に \varepsilon\,_1 の累乗については

\begin{align} \varepsilon\,_1 ^1 &= \varepsilon\,_1 \\\ \varepsilon\,_1 ^2 &= 2\varepsilon\,_2 \\\ \varepsilon\,_1 ^3 &= 6\varepsilon\,_3 \\\ \cdots \\\ \varepsilon\,_1 ^n &= n! \cdot \varepsilon\,_n \\\ \end{align}

という規則があります。

 

そしてこの超二重数を使うと、任意の多項式関数について f(x + \varepsilon\,_1) を展開整理するだけで任意の階数の微分が求まるというわけですね。簡単便利。

 

この超二重数は "二重数" なのか？

最初に二重数を導入したときのことを思い出しましょう。「2乗すると0になる数 \varepsilon」を認めるところから二重数を考え始めたのでした。

ところで超二重数の積の法則を見てください。

\begin{align} \varepsilon\,_m \cdot \varepsilon\,_n = \binom{m + n - 1}{m - 1} \varepsilon\,_{m+n} \end{align}

ここから

\begin{align} \varepsilon\,_n^2 = \binom{2n-1}{n-1} \varepsilon\,_{2n} \end{align}

となります。

あれ、どの \varepsilon\,_n も「2乗すると0になる数」ではない...。

いったい2乗すると0になる性質はどこに消えてしまったのでしょうか？不思議ですね。

 

そもそも1階の二重数は2階の二重数のサブセットではない

もう一つサラッと流したけど違和感のある理論展開がありました。
2階の二重数とは基底 \varepsilon\,_1, \varepsilon\,_2 を用いて a + b\varepsilon\,_1 + c\varepsilon\,_2 と書ける数と定義しました。このとき1階の二重数は2階の二重数の特別な場合 ( c = 0 の場合) と明言しませんでした。

それもそのはず1階の二重数における \varepsilon と2階の二重数における \varepsilon\,_1 は演算規則が異なるからです。 1階の二重数において \varepsilon ^2 = 0 です。一方で \varepsilon\,_1 ^2 = 2\varepsilon\,_2 \ne 0 です。

n階の二重数や超二重数は、二重数の自然な拡張なのでしょうか？

 

超二重数にプランク距離を定めるとn階の二重数が (そして実数が) 出る

ここから先の話はポエムでありオカルトです。超二重数からn階の二重数を導出してみます。

そもそも二重数の基底 \varepsilon は実数に比べて非常に小さい数というイメージがあります。例えば実数の 0.1 を2乗すると 0.01 になってより小さくなってしまうように、非常に小さい数を2乗すると 0と区別できないくらい 小さくなってしまうのです。

この点においては2階以上の二重数でも同じイメージで語れます。2階の二重数における \varepsilon\,_1, \varepsilon\,_2 はどちらも非常に小さい数で。くわえて \varepsilon\,_1 に比べて \varepsilon\,_2 はさらに小さいとイメージできます。 \varepsilon\,_1^2 = 2\varepsilon\,_2 より、仮に \varepsilon\,_1 = 0.1 くらいとすると \varepsilon\,_2 = 0.005 くらい？

さて、二重数の基底に小ささのレベルが存在すると思うと。 1階の二重数と2階の二重数を統一的風に解釈できます。
1階の二重数の演算表にも \varepsilon\,_2 が現れているのですが、小さすぎて 0 と区別できないために \varepsilon\,_1^2 = 0 と捉えるしかないのです。

(なんかポエムを連ねるのがしんどくなったのでこの記事はここで終わります)

 

まとめ

いかがでしたか？みなさまも実数を適当に拡張して遊んでみてはいかがでしょうか？
実際、n階の二重数は微分計算ために便利なのでそのうち Rust で実装して遊んでみようと思います。

 

 

私からは以上です。

 

おまけ

Rust のデータ型としてn階の二重数を実装している例はすでに在って。たとえばこれ↓↓↓です。

zenn.dev